Εξισώσεις 3ου Βαθμού

Στα γυμνασικά χρόνια διδασκόμαστε τον τρόπο επίλυσης εξισώσεων 1ου και 2ου βαθμού, και με τις γνώσεις της Γ' Λυκείου μπορούμε να αποδείξουμε, με χρήση του Θεωρήματος Bolzano,  ότι κάθε πολυωνιμική εξίσωση περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. Εκείνο όμως που δεν μαθαίνουμε στα σχολικά χρόνια είναι ότι υπάρχει γενικός τρόπος επίλυσης των εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού. Στο αρχείο Επίλυση Εξισώσεων 3ου Βαθμού , που επισυνάπτω παρουσιάζω αναλυτικά την μεθοδολογία εύρεσης των ριζών της τριτοβάθμιας εξίσωσης, η οποία αν και σημαντικά πολυπλοκότερη της αντίστοιχης για την δευτεροβάθμια, παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον.

Ποιός λέει ότι τα Μαθηματικά πρέπει να είναι βαρετά ;

Ένα πολύ ενδιαφέρον άρθρο από τους New York Times, όπου μεταξύ άλλων αναφέρεται ότι μέσα στην επόμενη πενταετία θα ανοίξουν 2,4 εκατομμύρια STEM θέσεις εργασίας (STEM = Science, Technology, Engineering, Mathematics). Μπορείτε να διαβάσετε ολόκληρο το άρθρο πατώντας εδώ.

Ασκήσεις στις Ταυτότητες της Γ' Γυμνασίου

Ακολουθώντας το σύνδεσμο Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, θα δείτε μια σχετικά μικρή, αλλά ενδιαφέρουσα, ομάδα ασκήσεων στις Ταυτότητες της Γ' Γυμνασίου.

Ασκήσεις Άλγεβρας Α' Λυκείου

Σε συνέχεια παλαιότερης ανάρτησης με ασκήσεις Άλγεβρας σε 1ο και 2ο κεφάλαιο, δημοσιεύω ένα πλήρες φυλλάδιο Ασκήσεων σε όλη την ύλη της Α' Λυκείου. Δείτε τις ασκήσεις ακολουθώντας το σύνδεσμο Ασκήσεις Άλγεβρας .

Διαγωνισμός Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας

Στους συνδέσμους που ακολουθούν μπορείτε να δείτε τα θέματα και τις λύσεις του Επαρχιακού διαγωνισμού Μαθηματικών της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας, για όλες τις  τάξεις Γυμνασίου : Α' Γυμνασίου , Β' Γυμνασίου , Γ' Γυμνασίου και Λυκείου : Α' Λυκείου , Β' Λυκείου , Γ' Λυκείου .

Θαλής 2013-2014

Για να δείτε τα θέματα, όλων των τάξεων, του μαθηματικού διαγωνισμού Θαλής, πατήστε εδώ. Για τις λύσεις, όπως προτείνονται από την Μαθηματική Εταιρεία, πατήστε εδώ.

Ασκήσεις στα Γραμμικά Συστήματα της Β' Λυκείου

Επιλέγοντας τον σύνδεσμο Ασκήσεις στα Γραμμικά Συστήματα , μπορείτε να δείτε μία ενδιαφέρουσα συλλογή ασκήσεων για την Άλγεβρα της Β' Λυκείου, από την οποία απουσιάζουν οι λεγόμενες ασκήσεις εμπέδωσης ή Α' ομάδας.

Ασκήσεις Παραγοντοποίησης Γ Γυμνασίου

Η παραγοντοποίηση κατέχει σημαντικό ρόλο στην ύλη των Μαθηματικών της Γ' Γυμνασίου. Δημοσιεύω λοιπόν ένα φυλλάδιο ασκήσεων κλιμακούμενης δυσκολίας, που καλύπτουν το σύνολο των τεχνικών παραγοντοποίησης. Θα το βρείτε ακολουθώντας το σύνδεσμο Ασκήσεις Παραγοντοποίησης.

Ασκήσεις στην Άλγεβρα της Α' Λυκείου

Δημοσιεύω ένα φυλλάδιο ασκήσεων Άλγεβρας για το 1ο και 2ο κεφάλαιο της Α' Λυκείου. Οι ασκήσεις είναι ενδιαφέρουσες και η δυσκολία τους κυμαίνεται από μέτρια έως αρκετά αυξημένη. Οι δυσκολότερες βρίσκονται τελευταίες σε κάθε παράγραφο. Δείτε τις ασκήσεις ακολουθώντας τον σύνδεμο Ασκήσεις1-2_Κεφάλαιο.

Νέο Ωρολόγιο Πρόγραμμα

Δόθηκε σήμερα στην δημοσιότητα το νέο ωρολόγιο πρόγραμμα για Γυμνάσια-Λύκεια. Ελπίζουμε αυτή τη φορά να είναι τελικό, αν και φοβάμαι ότι η αβεβαιότητα και η ανησυχία στην εκπαιδευτική κοινότητα δεν θα έχει τέλος. Δείτε το πρόγραμμα απο το alfavita.gr.

Το Β3 συνεχίζεται ...

Ίσως πλέον να μην ενδιαφέρει πολλούς, όμως για την πληρότητα της ιστορίας πρέπει να αναφερθεί. Σε παλαιότερη ανάρτηση είχα επισημάνει ότι ανάλογη άσκηση με το Β3 των Πανελληνίων υπήρχε στο εξαιρετικό βιβλίο του Ηλία Β. Ντζιώρα, κάτι άλλωστε που είχε αναφερθεί και σε άλλα ιστολόγια (πχ eisatopon). Σήμερα εντελώς τυχαία ανακάλυψα ότι η ίδια άσκηση υπάρχει στο "Άλγεβρα δια τα Λύκεια" του Σπύρου Κανέλλου (Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλος - Αθήνα 1966) και στο "Άλγεβρα και συμπλήρωμα Άλγεβρας-Τόμος Β' " του Πέτρου Τόγκα  (Εκδόσεις Πέτρος Τόγκας), ανεκτίμητα βιβλία και τα δύο. Από περιέργεια κοίταξα το κεφάλαιο των πολυωνύμων και σε άλλα αξιόλογα βιβλία Άλγεβρας εκείνης της εποχής ( '60'ς) και την βλέπεις να υπάρχει σε όλα . Ήταν λοιπόν μία  πολύ δημοφιλής άσκηση σ' εκείνα τα μακρινά χρόνια, της αθωότητας και της ψυχεδέλειας.

Νέο Ωρολόγιο πρόγραμμα Γυμνασίου

Παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον τον Νέο Ωρολόγιο πρόγραμμα που θα ισχύσει στα Γυμνάσια από Σεπτέμβριο. Δημοσιεύετε στο Εκπαιδευτικό Δίκτυο AlfaVita και θα το βρείτε πατώντας εδώ. Περιμένω σχόλια, παρατηρήσεις, αντιδράσεις ...

Μαθηματικά και άλλα στο Facebook

Τα Μαθηματικά και άλλα απέκτησαν σελίδα στο Facebook. Επισκεφθείτε την στο https://www.facebook.com/Mathandothers.

Επιστράτευση, μη απεργών

Πολιτική επιστράτευση εκπαιδευτικών, που δεν απεργούν. Μία αρνητική παγκόσμια πρωτοπορία της τρικομματικής Ελληνικής κυβέρνησης.
Η πολιτική επιστράτευση είναι ίσως η έσχατη λύση που μπορεί να επιλέξει μία δημοκρατική κυβέρνηση ώστε να διαφυλάξει την απειλούμενη, από απεργία εργαζομένων, διατάραξη της κοινωνικής τάξης και γαλήνης.
Προσεγγίζοντας την κατάσταση καλοπροαίρετα, ας θεωρήσουμε ότι η επιβολή της επιστράτευσης ήταν επιβεβλημένη προκειμένου να διενεργηθούν απρόσκοπτα οι Πανελλήνιες εξετάσεις. Ποια καλή διάθεση είναι εκείνη που θα δικαιολογήσει την συνέχιση της; Οι εκπαιδευτικοί, έχοντας την αξιοπρέπεια τους βαριά πληγωμένη, βρίσκονται στα σχολεία τους, χωρίς διάθεση κινητοποιήσεων. Εργάζονται περισσότερο, αμείβονται όμως ολοένα και λιγότερο.
Ποιο είναι λοιπόν το είδος της δημοκρατίας πού επιτρέπει την επιστράτευση τους; Ποιες μπορεί να είναι οι συνέπειες μιάς τέτοιας κατάστασης για το άμεσο μέλλον της δημόσιας εκπαίδευσης; Ποια θετική εξέλιξη μπορεί να προκύψει;
Αυτά και άλλα ερωτήματα προκύπτουν αυθόρμητα, αποτρέποντας  κάθε  αισιόδοψη σκέψη.

Το θέμα της συνεχιζόμενης επιστράτευσης έχει πάρει, με πρωτοβουλία της ΟΛΜΕ, διεθνείς διαστάσεις. Διαβάστε σχετικά εδώ. (Από την ιστοσελίδα http://www.esos.gr )

Σχόλια για τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

    Τα χθεσινά θέματα μεθηματικών Κατεύθυνσης έγιναν όπως ήταν αναμενόμενο, αλλά και θεμιτό, αντικείμενο έντονου σχολιασμού και κριτικής, σε αρκετές όμως περιπτώσεις στείρας και αδιάφορης.
     Προσωπικά θεωρώ τα θέματα επιτυχημένα και αποτελεσματικά, γιατί πετυχαίνουν να κατατάξουν τους υποψήφιους στις διάφορες βαθμολογικές κλίμακες. Ένας καλά προετοιμασμένος μαθητής, χωρίς αξιόλογη μαθηματική ικανότητα, θεωρώ ότι μπορούσε να φτάσει περίπου στο 75, ίσως και 80. Μία καλύτερη βαθμολογική επίδοση απαιτούσε εντατικότερη προετοιμασία, αυξημένη μαθηματική ικανότητα, παράγοντες που οφείλουν να υφίστανται στις άριστες βαθμολογίες. Απαιτούσε όμως και γνώση φροντιστηριακών τεχνικών, σημείο το οποίο επιδέχεται έντονη κριτική, αν συνυπολογίσουμε την δεινή οικονομική κατάσταση στην οποία έχει περιέλθει η Ελληνική κοινωνία.
    Αναλυτικότερα :
    ΘΕΜΑ Α : απλό, χωρίς εκπλήξεις
    ΘΕΜΑ Β : Β1, Β2 Αντιμετωπίζονται σωστά, χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες
     Β3 Η επίλυση της δεν έχει σχέση με μιγαδικούς και θα μπορούσε άνετα να διδαχθεί σαν απαιτητική άσκηση στην Α' Λυκείου. Δύσκολο να επιλυθεί πλήρως ακόμη και από ικανούς και πολύ καλά πρετοιμασμένους μαθητές, αν δεν έχουν ασκηθεί σε ανάλογες ασκήσεις  φροντιστηριακά.

Παρουσιάζω μία άσκηση στα πολυώνυμα από το βιβλίο Ε' Γυμνασίου (Θετικής κατεύθυνσης) έκδοσης 1971, του Ηλία Ντζιώρα. Συγκρίνετε την με το Β3.

     ΘΕΜΑ Γ : Βατό, μάλλον ευκολότερο σε σχέση με προγούμενα χρόνια.
     ΘΕΜΑ Δ : Επιτυχημένο, ανάλογης δυσκολίας με προγούμενα Δ θέματα, αν και λιγότερο πρωτότυπο. Απαιτούσε ιδιαίτερη εξάσκηση για να αντιμετωπιστεί πλήρως (Ιδιαίτερα ένα μέρος του Δ1, το Δ2 και μέρος του Δ3).

Συμπερασματικά, κάποιος που έχει στηριχθεί στο σχολικό βιβλίο και στο study4exams, δεν πετυχαίνει βαθμολογία μεγαλύτερη του 75-80. Οι  άριστες επιδόσεις απαιτούν πολλά περισσότερα απο τα σχολικά βοηθήματα, αλλά αυτό είναι διαχρονικό φαινόμενο των εισαγωγικών εξετάσεων.

Για του λόγου το αληθές δείτε δείγμα θεμάτων των εισαγωγικών εξετάσεων του 1932 ( Πηγή : http://physicsgg.me/  ) για το Πολυτεχνείο, στα οποία εξετάστηκε και ο μέγιστος μαθηματικός Χρίστος Παπακυριακόπουλος, ο οποίος αν και εισήχθει στους Πολιτικούς μηχανικούς, αργότερα εκατέλειψε την σχολή για να σπουδάσει την μέγιστη των επιστημών.

Σχολιασμός Μαθηματικών Γενικής Παιδείας

Έχουν ακουστεί πολλά και αντικρουόμενα σχόλια για τα θέματα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας. Θα επιχειρήσω μόνο μία απλή παρατήρηση.
Το μάθημα αυτό επιλέγεται κυρίως απο μαθητές που επιθυμούν να εισαχθούν σε Οικονομικές σχολές. Πριν κάποια χρόνια -όχι πολλά - οι μαθητές που στόχευαν προς αυτές τις σχολές διαγωνίζονταν στα Μαθηματικά της 4ης δέσμης. Συγκρίνοντας τώρα τα θέματα του τότε και του τώρα θα λέγαμε με ευκολία ότι τα φετινά θέματα ήταν επιτυχημένα και μάλλον ευκολώτερα από τα παλαιότερα. Γιατί λοιπόν όλη αυτή η συζήτηση;
Όμως κάτι ακόμη παιρνάει απ' την σκέψη μου.
Οι μαθητές που διαγωνίστηκαν τότε,  15-20 χρόνια πριν, σε εκείνα τα μαθηματικά είναι οι σημερινοί οικονομολόγοι .
Αναρωτιέμαι,  τι μας επιφυλλάσει το μέλλον ;
 

Ενδεικτικές Λύσεις

Στο αρχείο που μπορείτε να καταβάσετε, πατώντας εδώ, περιέχονται χειρόγραφες ενδεικτικές - όχι λεπτομερείς - λύσεις για τις τέσσερεις ομάδες ασκήσεων Γ' Λυκείου κατεύθυνσης, που έχω δημοσιεύσει.

Σκέψεις για τα τεκταινόμενα στην Εκπαίδευση

     Σίγουρα προκαλεί ερωτηματικά το γεγονός ότι η κυβέρνηση επέλεξε την τρέχουσα χρονική στιγμή για να ψηφίσει ένα νόμο, ο οποίος με βεβαιότητα θα προκαλούσε αντιδράσεις. Κάποιοι μαθητές προετοιμάζονται για τις προαγωγικές και κάποιοι άλλοι για τις Πανελλήνιες εξετάσεις και η κυβέρνηση νομοθετεί, προκαλεί αναταραχή στους εκπαιδευτικούς, ισχυρίζεται όμως ότι η απρόσκοπτη διεξαγωγή των εξετάσεων αποτελεί πρώτιστο μέλημά της.
     Στην άλλη πλευρά τώρα, το συνδικαλιστικό όργανο των εκπαιδευτικών αντιδρά έντονα, προβάλλοντας όμως τις αντιρρήσεις του για τα ποσοτκά στοιχεία του νομοθετήματος, όπως δύο επιπλέον διδακτικές ώρες, υποβαθμίζοντας ταυτόχρονα τα ποιοτικά, τις παράπλευρες παρενέργειες.
     Το σχολείο προφανώς δεν είναι "πλίνθοι και κέραμοι εν τάξει ερριμμένοι", γιατί απλούστατα είναι ένας ζωντανός οργανισμός που απαρτίζεται απο μαθητές και καθηγητές. Όπως όλοι γνωρίζουμε οι καθηγητές εκπαιδεύουν, διαπλάθουν και κατευθύνουν τους μαθητές, όταν οι καταστάσεις είναι ιδανικές. Άρα στο ιδανικό σχολείο, το οποίο οι κυβερνώντες διαχρονικά επιδιώκουν, πρωτεύοντα και ζωτικό ρόλο έχουν οι καθηγητές.
      Πως όμως είναι δυνατόν να δημιουργηθεί ένα τέτοιο σχολείο όταν οι καθηγητές του είναι εξαθλιωμένοι οικονομικά και ταπεινωμένοι επαγγελματκά ;  Πως μπορεί μια επιχείρηση, ένα εργοστάσιο, να είναι παραγωγική, να είναι αποδοτική όταν οι υπάλληλοι της είναι απογοητευμένοι, προβληματισμένοι, κουρασμένοι, όταν είναι σε αντιπαράθεση με την διοίκηση ;
Έχει σημασία σε αυτές τις καταστάσεις ποιος θα κερδίσει μια μάχη, έχει σημασία αν θα γίνουν οι πανελλήνιες εξετάσεις, όταν το δημόσιο σχολείο θα έχει εξευτελιστεί, όταν τα παιδιά που μετά από λίγα χρόνια θα αποφοιτήσουν από τα Πανεπιστήμια θα αντιμετωπίσουν εφιαλτικά την ανεργία;
      Προφανώς δεν έχει, προφανώς οι κυβερνώντες βλέπουν την εκπαίδευση με λογιστική λογική.  Ενδιαφέρονται άραγε για την δημόσια παιδεία, για τα χιλιάδες παιδιά που φοιτούν στα δημόσια σχολεία, για τις χιλιάδες οικογένειες που εξουθενώνονται οικονομικά για να στείλουν τα παιδιά τους στα φροντιστήρια, στα πανεπιστήμια και τέλος στην ανεργία ; Μια ανεργία που αποκλειστικά οφείλεται στην Ευρωπαϊκή αλλά και την εσωτερική εφαρμοζόμενη πολιτική. Δυστυχώς πιστεύω πως ΟΧΙ.

ΥΓ. τα παραπάνω γράφτηκαν ακούγοντας Porcupine Tree.

Χρήσιμη σελίδα με πολλά θέματα γραπτών εξετάσεων

Μεταβείτε στην ιστοσελίδα της Περιφερειακής Δ/νσης Στ.Ελλάδος , πατήστε στο Tab "Θέματα Προαγωγικών Εξετάσεων" , για να δείτε μια μεγάλη συλλογή απο θέματα όλων των μαθημάτων, για όλες τις τάξεις του Γυμνασίου και για τις Α', Β' Λυκείου.